Úlohy s krátkou otvorenou odpoveďou:
V každej úlohe okrem textu a správneho výsledku (za textom vpravo v hranatej zátvorke) uvádzame úspešnosť, neriešenosť a najčastejšie chybné výsledky (s aspoň cca 2% frekvenciou) a pravdepodobné vysvetlenie chyby.
1. Vypočítajte : 33 - 52 =
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 79,3% | 0,92% | -16 (3,3%) |
Najčastejšou chybou bolo 33 - 52 = 9 - 25 = -16, teda žiaci namiesto tretej mocniny troch vypočítali druhú. Predpokladáme, že ide o chybu z nepozornosti.
2. Riešte rovnicu : x + (x - 14) = 350
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 77,7% | 3,2% | 168 (5,1%) |
Najčastejšou chybou bolo odčítanie 14 namiesto pričítania, čo viedlo k chybnému výsledku 168. Ide o klasickú chybu pri úprave rovníc.
3. Obvod obdĺžnika je 18 cm. Dĺžka jeho jednej strany je 3 cm. Aká je dĺžka jeho druhej strany v centimetroch?
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 84,7% | 2,4% | 12 (1,8%) |
Najčastejšou chybou bolo nedoriešenie rovnice a ponechanie dvojnásobku veľkosti strany obdĺžnika.
4. Marián dostal v 1. polroku z matematiky takéto známky: 1, 2, 1, 3, 1. Aký je priemer jeho známok z matematiky za 1. polrok?
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 85,6% | 1,04% | 1,3 (6,2%) |
Chybný výsledkom vyplynul z neznalosti algoritmu delenia čísel. Žiaci zrejme 8 : 5 = 1 zvyšok 3 zapísali ako 1,3. Táto chyba by sa neprejavila pri možnosti použiť kalkulačku.
5. Na koľko zhodných trojuholníkov rozdelia každý trojuholník jeho stredné priečky?
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 43,9% | 4,54% | 6 (35,7%) |
Úloha mala prekvapujúci výsledok, obrovská frekvencia výsledku 6 hovorí, že žiaci patrične neovládajú pojem stredná priečka a mýlia si ju s ťažnicou, teda s úsečkou, ktorá spája vrchol sa stredom protiľahlej strany. Mementom im nie je ani fakt, že takto vytvorené trojuholníky nie sú zhodné.
6. Z 1 800 vyrobených žiaroviek bolo 5 % chybných. Koľko vyrobených žiaroviek bolo bezchybných?
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 66,1% | 3% | 90 (16,7%) |
Žiaci chybovali najviac v tom, že počítali počet chybných namiesto počtu bezchybných žiaroviek. Túto chybu možno pripísať nepozornému čítaniu, je častá pri záporne formulovaných otázkach. Úspešnosť by bola zrejme vyššia, ak slovo bezchybných bolo v texte podčiarknuté.
7. Tabuľka udáva hodnoty priamej úmernosti medzi x a y. Určte chýbajúce číslo v tabuľke:
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 97,1% | 0,9% | rôznorodé |
Pri obrovskej úspešnosti žiadna žiacka chyba nebola veľmi frekventovaná.
8. Vypočítajte veľkosť výšky rovnobežníka v cm na stranu
a = 6 cm, ktorého obsah je 15 cm.
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 51,4% | 15,7% | 5 (10,8%) |
Najmenšia riešenosť u otvorených otázok o malej práci s rovnobežníkmi a výpočtami ich obsahov. Pri najfrekventovanejšom nesprávnom výsledku 5, žiaci na výpočet obsahu použili vzorec pre trojuholník.
9. Určte koľko stupňov má najmenší vnútorný uhol trojuholníka ABC ak viete, že uhly sú v pomere: a : b : g = 4 : 3 : 2.
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 67,2% | 10% | 20 (3,8%) |
Najčastejší chybný výsledok 20 svedčí nedokončení úlohy (180:) 4+3+2) = 20) a považovaní 1 dielu v pomere za konečný výsledok.
10. Vypočítajte a vyjadrite v základnom tvare:
| Úspešnosť | Neriešenosť | Chybné výsledky |
| 69% | 2,61% | (7%) |
Najčastejšou chybou bolo nedanie výsledného zlomku do základného tvaru.
Úlohy s výberom odpovede - analýza distraktorov:
11. Súčet dvoch čísel je (-10,5) a rozdiel týchto dvoch čísel je 3,5. Potom súčin týchto dvoch čísel bude
| A: 24,5 | B: 49 | C: -49 | D: -24,5 |
| 55,9% | 6,7% | 10,4% | 25,0% |
Priemerne ťažká úloha (nešpecifický transfer). Žiaci vedeli zostaviť a riešiť sústavu rovníc. Najčastejšie chybovali v znamienku pri súčine dvoch záporných čísel.
12. Podielom najmenšieho spoločného násobku a najväčšieho spoločného deliteľa čísel 150 a 90 je:
| A: 60 | B: 15 | C: 420 | D: 159 |
| 9,5% | 77,6% | 4,6% | 7,0% |
Ľahšia úloha. Žiaci vedia určiť najmenší spoločný násobok a najväčšieho spoločného deliteľa požadovaných čísel. Niektorí robia pri tom rôzne numerické chyby, prípadne nevedia a správny výsledok hádajú.
13. Útvar na obrázku je sieť kocky s objemom 8 cm3. Aký je obvod tohto útvaru?
| A: 28 | B: 14 | C: 38 | D: 56 |
| 63,5% | 7,9% | 14,2% | 12,5% |
Priemerne ťažká úloha. Obvod útvaru tvorí 14 strán štvorca so stranou 2. Najčastejšou chybou bolo, že žiaci do obvodu započítali aj 5 strán štvorcov vo vnútri útvaru, teda všetky hrany kocky.
14. Stavebný pozemok s rozmermi 110 x 154 m určenú na výstavbu rodinných domov je potrebné rozdeliť na rovnako veľké štvorcové stavebné parcely s čo najväčšou výmerou.
Koľko takýchto stavebných parciel vznikne?
| A: 140 | B: 70 | C: 35 | D: 22 |
| 13,7% | 16,8% | 33,3% | 32% |
Veľmi ťažká úloha (na nešpecifický transfer). Vidno, že dobre nacvičený algoritmus prezentovaný v úlohe č. 12 žiaci nevedia uplatniť v praktickej úlohe. S úlohou sa dobre vysporiadali len najlepší žiaci (1. pätiny), a to na 55%. Najčastejšou chybou bolo uvádzanie najväčšieho spoločného deliteľa, ktorý reprezentuje veľkosť strany parcely 22 m.
15. V žrebovacom zariadení sú štartovné čísla od 1 po 20. Aká je pravdepodobnosť, že si prvý žrebujúci pretekár v zjazdovom lyžovaní vyžrebuje štartovné číslo menšie ako 6.
| A: | B: | C: | D: |
| 20,3% | 23,8% | 7,5% | 47,0% |
Ťažšia úloha (nešpecifický transfer). Žiaci najčastejšie chybovali započítaním aj čísla 6, uvažovali teda menšie alebo rovné 6. Ďalšia pomerne veľká skupina žiakov neuvažovala s touto podmienkou vôbec.
16. Valec má objem 200 litrov. Aký objem má valec, ktorý je dvakrát širší s polovičnou výškou? (p = 3,14)
| A: 200 litrov | B: 400 litrov | C: 314 litrov | D: 157 litrov |
| 59,0% | 24,9% | 11,1% | 2,8% |
Úloha sa ukázala ako veľmi ťažká (nešpecifický transfer). Vysporiadali sa s ňou len najlepší žiaci (1. pätina) na 50%. Žiaci si neuvedomili, že podstava je kvadratický útvar a ak zväčšíme jej jeden rozmer dvojnásobne jej obsah sa zväčší štvornásobne. To platí u hranatých i rotačných telies. Teda 200.22/2 = 400. Ide tu aj o absenciu dobrej priestorovej predstavivosti, nakoľko oba útvary sú znázornené v správnej mierke.
17. Riešením lineárnej nerovnice 7x + 10 > 12x - 55 sú všetky čísla, pre ktoré platí:
| A: x < 13 | B: x > 13 | C: x < - 13 | D: x > - 13 |
| 68,7% | 19,4% | 5,5% | 5,8% |
Ľahšia úloha. Najčastejšou chybou bolo násobenie nerovnice záporným číslom bez zmeny znamienka nerovnice.
18. Osem nákladných áut odvezie na skládku za 5 pracovných dní 2400 vriec komunálneho odpadu. O koľko viac vriec odpadu by odviezlo 7 áut za 7 dní.
| A: o 980 | B: o 540 | C: o 2 940 | D: o 42% |
| 12,5% | 54,5% | 13,7% | 16,2% |
Ťažšia úloha. Malý rozdiel vo frekvencii distraktorov svedčí o pomerne veľkom hádaní.
19. Obdĺžnik PQRS (obr.) je rozdelený na dva podobné obdĺžniky O1 a O2. Veľkosti menších strán týchto obdĺžnikov sú 6 cm a 3 cm. Obsah obdĺžnika PQRS je:
| A) 72 cm2 | B) 54 cm2 | C) Nedá sa | D) 90cm2 |
| jednoznačne určiť. | |||
| 17,2% | 11,9% | 26,5% | 42,2% |
Pomerne ťažká úloha, hoci ide o pomerne jednoduchú aplikáciu podobnosti. Podobnosť pre žiakov je tradičným problémom. Ťažkosť bude asi aj v jej komplexnosti, nakoľko po určení zvyšných strán obdĺžnikov treba ešte určiť obsah veľkého obdĺžnika.
20. Určte akú časť obsahu štvorca ABCD tvorí obsah trojuholníka AEF na obrázku.
| A: | B: | C: | D: |
| 9,8% | 9,8% | 17,7% | 59,9% |
Priemerne ťažká úloha (nešpecifický transfer). Úloha nie je veľmi vhodná na ponuku odpovedí, distraktory tu nereprezentujú žiadne chyby vo výpočte, sú to len čísla blízke 1/6. Ide teda zjavne o tipovanie u žiakov, ktorí úlohu nevedeli riešiť, číslo 1/5 sa im možno pre jednoduchosť zdalo najpravdepodobnejšie.
21. Televízne štúdio je zhotovené v mierke 1 : 150. Na pláne má štúdio v tvare obdĺžnika rozmery 5 cm a 6 cm. Koľko korún zaplatíme za pokrytie štúdia plávajúcou podlahou, ak za 1 m_ plávajúcej podlahy zaplatíme 356 korún.
| A: 24 030 | B: 11 748 | C: 19 224 | D: 5 874 |
| 56,3% | 18,7% | 12,5% | 9,3% |
Priemerne ťažká úloha. Úloha je dosť komplexná, vyžaduje použitie pomeru, premeny jednotiek, výpočet obsahu a napokon kontextom požadovanej ceny. Distraktory opäť nie sú najvhodnejšie volené, hoci bol tu priestor na lepšie využitie úlohy, to úlohu uľahčilo.
22. Trojuholník AED a rovnobežník EBCD na obrázku majú rovnaký obsah. Dĺžka strany DC je 6 m. Potom základňa AB lichobežníka ABCD má veľkosť:
| A: 24 m | B: 18 m | C: 12 m | D: 6 m |
| 6,9% | 69,9% | 18,4% | 2,8% |
Ľahšia úloha. Ak útvary majú rovnaký obsah, tak ich výšky vedené z bodov D a C ich delia na zhodné trojuholníky. Potom zjavne (omega)AB(omega) = 3.6 =18. Predpokladáme, že chyby boli spôsobené najmä neporozumením úlohy alebo neschopnosťou modelovať situáciu na danom obrázku.
23. Vypočítajte hodnotu výrazu (3a - ab), ak a = -5, b = -0,5.
| A: - 1,8 | B: -4,5 | C: -17,5 | D: -1,3 |
| 2,9% | 8,8% | 84,0% | 2,7% |
Ľahká úloha. Pri vhodnejšie volených distraktoroch (napr. -12,5; 12,5; 17,5) by úloha bola cennejšia.
24. Žiaci majú vyučovanie od 8.00 hodiny do 12.30 hodiny. Medzi vyučovacími hodinami je jedna 15-minútova a tri 10-minútové prestávky. Koľko percent vyučovania tvoria prestávky ?
| A: 16,6 | B: 22,5 | C: 6 | D: 45 |
| 63,4% | 12,0% | 10,5% | 11,6% |
Priemerne ťažká úloha. Takmer rovnaká frekvencia distraktorov, pokazuje na tipovanie žiakov, ktorí úlohu nevedeli riešiť.
25. Riešte rovnicu :
| A: x = -7 | B: x = 7 | C: x = 13 | D: x = 2 |
| 16,3% | 6,6% | 69,7% | 1,0% |
Ľahšia úloha. Žiaci vedia riešiť lineárne rovnice, najčastejšou chybou bola nesprávna aplikácia záporného znamienka na čitateľa pri odstránení zlomku.
26. Vo vrecúšku sú farebné guľky. Jedna tretina z nich je modrá, jedna šestina je biela, päť dvanástin je žltých a zvyšných 10 guliek je červenej farby. Koľko žltých guliek je vo vrecúšku?
| A: 20 | B: 40 | C: 50 | D: 120 |
| 18,1% | 15,2% | 49,4% | 14,0% |
Ťažšia úloha (na nešpecifický transfer). Blízkosť frekvencií distraktorov svedčí o tipovaní žiakov, ktorí úlohu nevedeli riešiť.
27. Z daného vzorca vyjadrite neznámu c. a : b = (b + c) : b
| A: c = a - b | B: c = a + b | C: c = 1 - b | D: c=a-bb |
| 56,0% | 12,5% | 4,3% | 25,0% |
Priemerne ťažká úloha. Žiaci majú tradične problémy s prácou s premennými.
28. Do kruhovej striebornej medaile s priemerom 10 cm je vpísaný zlatý kríž, ktorý pozostáva z 5 rovnakých štvorcov. Aký je jeho obsah? (p=3,14)
| A: 28,5 cm2 | B: 78,5 cm2 | C: 50 cm2 | D: 10 cm2 |
| 17,5% | 23,4% | 47,6% | 7,3% |
Ťažšia úloha (nešpecifický transfer). Najčastejšou chybou je uvádzanie obsahu celej medaile a potom obsahu striebornej časti.
29. Tomáš má štyri futbalové dresy rôznej farby: červenej, modrej, bielej a zelenej. Koľkými spôsobmi ich môže Tomáš poukladať na policu vedľa seba, ak chce, aby červené a modré dresy boli na polici pri sebe?
| A: 24 | B: 12 | C: 8 | D: 6 |
| 5,8% | 56,3% | 16,0% | 21,1% |
Priemerne ťažká úloha. Najčastejšou chybou bolo, že žiaci neuvážili, že červený a modrý dres môže byť vedľa seba dvoma spôsobmi.
30. Dve kružnice s polomermi 4 cm a 3 cm majú stredy vzdialené 0,5 cm. Koľko spoločných bodov majú tieto kružnice?
A: majú práve 1 B: majú práve 2
spoločný bod spoločné body
7,6% 47,0%
C: majú viac ako 2 D: nemajú žiaden
spoločné body spoločný bod
5,5% 38,8%
Úloha sa ukázala ako veľmi ťažká, hoci na nej nie čo počítať, stačí si situáciu znázorniť. Svedčí o veľmi závažnom probléme, že žiaci nie sú zvyknutí si situácie modelovať.
